1. 統計概論
確率変数： X
実現値： x
分布関数： FX ( x )
∂
密度関数： f X ( x ) = FX ( x )
∂x
積率母関数（モーメント母関数）
(φ ) =
定義： G = E eφ X
∫e
φx
⋅ f ( x ) dx
1 1
性質： G (= E eφ= E 1 + X φ + X 2φ 2 + X 3φ 3 + ⋅⋅⋅ （φを 0 の周りでテイラー展
φ)
X
2! 3!
開）
上式で，k 時モーメントを µ k = E X k とおくと次のようになる．
1 1
G (φ ) = 1 + µ1φ + µ2φ 2 + µ3φ 3 + ⋅⋅⋅
2! 3!
よって G
k
( 0 ) = µk となり，積率母関数を k 階微分して 0 を代入したものは k 次モーメント
E X k に等しい．
（別証明）
∂k ∂k φx
G (φ ) =
k
k ∫
eφ x ⋅ f ( x ) dx = ∫ ∂φ k e ⋅ f ( x ) dx = ∫x e
k φx
⋅ f ( x ) dx
∂φ
であるから， G k ( 0 ) = ⋅ f ( x ) dx =X k =
xk ∫ E µk となる．
期待値
∞
定義：= E [=
µX X] ∫ x ⋅ f ( x ) dx
−∞
2. 性質： E [ aX + b ] aE [ X ] + b
=
(
公式： E E Y X =
X Y ) ∫ E (Y X ) ⋅ f ( x ) ⋅ dx = ∫ ∫
X y ⋅ fY X ( y x ) ⋅ f X ( x ) ⋅ dydx
∫
= ∫ y ⋅ f XY ( x, y ) ⋅ dydx = ∫ y ⋅ fY ( y ) ⋅ dy = E [Y ]（期待値繰り返しの公式）
・ に関して）原点周りの 1 次モーメント
（X
分散
∫ ( x − E [ X ]) ⋅ f ( x ) dx
∞
定義： σ X = [ X ] =
2
V
−∞
性質： V [ aX + b ] =V [ X ] ， V [ X ] E X 2 − E [ X ] { }
2
a 2
=
公式：
{ } {
E V (Y X ) + V E (Y X ) = E E (Y 2 X ) − E (Y X ) + E E (Y X ) − E E (Y X ) } { }
2 2 2
X Y X Y
{ }
E Y 2 − E E (Y X ) + E E (Y X ) − { E [Y ]} { }
2 2 2
=
E Y 2 − { E [Y ]} = [Y ]
2
= V
・平均周りの 2 次モーメント
・2 次モーメントから 1 次モーメントの 2 乗を引いたもの
共分散
∫ ∫ ( x − E [ X ]) ( y − E [Y ]) ⋅ f ( x, y ) dxdy
∞ ∞
定義： σ XY= Cov [ X , Y =
] −∞ −∞
性質： Co [ , Y ] E [ XY ] − E [ X ] E [Y ]
=
vX
・平均まわりの(1,1)次のモーメント
・実際に計算する際には，平均値からの差を利用する場合と観測値の差のペアを利用する
場合の二通りある．
独立と無相関
独立： f XY ( x, y )
= f X ( x ) ⋅ fY ( y )
3. 無相関： Cov [ X , Y ] = 0
性質：独立⇒無相関
・無相関⇒独立の反例
1 1
X ~ U − , ， Y = X 2 である場合，無相関ではあるが独立ではない．
2 2
標準偏差
定義： σ X = V [ X ]
・分散の平方根
標準化
Z=
(X − µ)
σ
・確率変数 X から期待値μを引いて標準偏差σで割ったもの
歪度
( X − µ ) 3 µ
定義： E =
3
σ σ3
・標準化確率変数の 3 次モーメント
・平均周りの 3 次モーメントをσ3 で割ったもの
・0 だと対称．正だと右裾，負だと左裾を引く
尖度
( X − µ ) 4 µ4
定義： E − 3= −3
σ
σ4
・標準化確率変数の 4 次モーメントから 3 を引いたもの
・正規分布では 0．正だと尖った，負だと平坦な分布
・相関係数（共分散を基準化したもの，単回帰によって計算される平方和を利用しても計
算できる）
![統計概論
確率変数： X
実現値： x
分布関数： FX ( x )
∂
密度関数： f X ( x ) = FX ( x )
∂x
積率母関数（モーメント母関数）
(φ ) =
定義： G = E eφ X
∫e
φx
⋅ f ( x ) dx
1 1
性質： G (= E eφ= E 1 + X φ + X 2φ 2 + X 3φ 3 + ⋅⋅⋅ （φを 0 の周りでテイラー展
φ)
X
2! 3!
開）
上式で，k 時モーメントを µ k = E X k とおくと次のようになる．
1 1
G (φ ) = 1 + µ1φ + µ2φ 2 + µ3φ 3 + ⋅⋅⋅
2! 3!
よって G
k
( 0 ) = µk となり，積率母関数を k 階微分して 0 を代入したものは k 次モーメント
E X k に等しい．
（別証明）
∂k ∂k φx
G (φ ) =
k
k ∫
eφ x ⋅ f ( x ) dx = ∫ ∂φ k e ⋅ f ( x ) dx = ∫x e
k φx
⋅ f ( x ) dx
∂φ
であるから， G k ( 0 ) = ⋅ f ( x ) dx =X k =
xk ∫ E µk となる．
期待値
∞
定義：= E [=
µX X] ∫ x ⋅ f ( x ) dx
−∞](https://image.slidesharecdn.com/random-110316223727-phpapp01/85/isseing333-1-320.jpg)
![性質： E [ aX + b ] aE [ X ] + b
=
(
公式： E E Y X =
X Y ) ∫ E (Y X ) ⋅ f ( x ) ⋅ dx = ∫ ∫
X y ⋅ fY X ( y x ) ⋅ f X ( x ) ⋅ dydx
∫
= ∫ y ⋅ f XY ( x, y ) ⋅ dydx = ∫ y ⋅ fY ( y ) ⋅ dy = E [Y ]（期待値繰り返しの公式）
・ に関して）原点周りの 1 次モーメント
（X
分散
∫ ( x − E [ X ]) ⋅ f ( x ) dx
∞
定義： σ X = [ X ] =
2
V
−∞
性質： V [ aX + b ] =V [ X ] ， V [ X ] E X 2 − E [ X ] { }
2
a 2
=
公式：
{ } {
E V (Y X ) + V E (Y X ) = E E (Y 2 X ) − E (Y X ) + E E (Y X ) − E E (Y X ) } { }
2 2 2
X Y X Y
{ }
E Y 2 − E E (Y X ) + E E (Y X ) − { E [Y ]} { }
2 2 2
=
E Y 2 − { E [Y ]} = [Y ]
2
= V
・平均周りの 2 次モーメント
・2 次モーメントから 1 次モーメントの 2 乗を引いたもの
共分散
∫ ∫ ( x − E [ X ]) ( y − E [Y ]) ⋅ f ( x, y ) dxdy
∞ ∞
定義： σ XY= Cov [ X , Y =
] −∞ −∞
性質： Co [ , Y ] E [ XY ] − E [ X ] E [Y ]
=
vX
・平均まわりの(1,1)次のモーメント
・実際に計算する際には，平均値からの差を利用する場合と観測値の差のペアを利用する
場合の二通りある．
独立と無相関
独立： f XY ( x, y )
= f X ( x ) ⋅ fY ( y )](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)